Ответы и указания к решению
Олимпиада "ЭВРИКА" 1998 год
5 класс
1. Ответ: 46923
Выпишем все двузначные числа кратные 23: 23, 46, 69, 92. Тогда искомое число будет максимум пятизначным: 2×4–3=5, где 4 – количество кратных 23 двузначных чисел, 3 – количество «общих» цифр (последняя цифра предыдущего числа и первая цифра следующего числа). Тогда такое наибольшее число равно 46923. Все остальные числа, обладающие этим свойством, будут иметь менее 5 цифр в своей записи, то есть будут меньше найденного.
2. Ответ: 7 встреч.
До момента, когда они встретятся все трое, пройдёт 60 минут (НОК(4,5,6)=60). Первый и второй будут встречаться каждые 20 минут (НОК(4,5)=20) и за 60 минут встретятся 60:20=3 раза.
Первый и третий будут встречаться каждые 12 минут (НОК(4,6)=12) и за 60 минут встретятся 60:12=5 раз.
Второй и третий будут встречаться каждые 30 минут (НОК(5,6)=30) и за 60 минут встретятся 60:30=2 раз.
Заметим, что последняя встреча для каждой пары считаться не должна, так как она будет общей для всех трёх человек. Тогда всего было (3–1)+(5–1)+(2–1)=7 встреч.
3. Ответ: нельзя.
Числа с остатками ноль от деления на 5 должны стоять через одно число. Тогда их должно быть ровно 7, а их всего два: 5 и 10. Следовательно, так расставить числа от 1 до 14 нельзя.
4. Ответ: они получат число 524361; ровно 5 баллов получить нельзя.
Обозначим все клетки:
1) Юра ставит на поле а карточку 5, так как если он не займёт его, то Оля поставит на него карточку 2 и число будет меньше.
2) Оля ставит на поле б карточку 2, так как если она не займёт его, то Юра поставит на него карточку 3 и число будет больше.
3) На обеих оставшихся у Юры карточках(1 и 3) числа меньше, чем на оставшихся карточках у Оли (4 и 6). Тогда Юре выгодно занимать младшие разряды числа, чтобы Оля ставила свои карточки в старшие разряды, и число было больше. Юра ставит 1 на поле е.
4) Оля должна поставить на поле д карточку 6 (свою самую большую из оставшихся карточку, в самый маленький из оставшихся разряд).
5) Рассуждая, как в пункте 3, Юра ставит в разряд сотен 3, чтобы Оля была вынуждена поставить в разряд тысяч 4.
Ровно 5 баллов получить за решение этой задачи нельзя: если правильно стоит 5 цифр, то и шестая цифра обязательно займёт нужное место.