Ответы и указания к решению
Олимпиада "ЭВРИКА" 2001 год
7 класс
1. Ответ: 27.
Пусть двузначное число имеет a десятков и b единиц. Тогда по условию (10a+b)2=(a+b)3. Если (a+b)3 – точный квадрат, то a+b тоже точный квадрат. (10a+b)2 >=100. 1<=(a+b)<=18. Если a+b=1 или a+b=4, то (a+b)3<100. Если a+b=9, то (10a+b)2=(a+b)3=93=36=(33)2 и 10a+b=33=27. Если a+b=16, то (10a+b)2=(a+b)3=163=212=(26)2 и 10a+b=26=64. Но 642 не равно (6+4)3. Итак, 10a+b=27.
2. 56 способов.
Пусть x раз нажали на кнопку №1 и y раз на кнопку №2. Тогда 4x+13y=59. Так как x и y – неотрицательные целые числа, то x=5, y=3. Количество способов равно C83 = 56.
3.
Пусть 3x–2y–z–2, 4y–2x–2z+2, 3z–2y–x–3 – отрицательные числа.
Их сумма (3x–2y–z–2)+(4y–2x–2z+2)+(3z–2y–x–3) = –3.Так как x, y и z – целые,
То (3x–2y–z–2)=(4y–2x–2z+2)=(3z–2y–x–3) = –1. Но 4y–2x–2z+2 – четное число и не может быть равно –1. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно. Значит, одно из искомых чисел неотрицательно, что и требовалось доказать.
4.
Фишка должна стоять на второй или четвертой клетке. Первый игрок должен ходить в первую, третью или пятую клетку столбцов с нечетными номерами.