Ответы и указания к решению
Олимпиада "ЭВРИКА" 1999 год
5 класс
1. Ответ: 1, 13, 25, 37, 49.
Условие а) означает, что все числа имеют одинаковые остатки от деления на 3. Условие б) означает, что все числа имеют одинаковые остатки от деления на 4. Тогда все числа имеют одинаковые остатки от деления на 12 и составляют арифметическую прогрессию с разностью 12. Условие в) означает, что первый член прогрессии должен быть минимальным, то есть единицей, что обеспечит минимальную сумму: 1, 13, 25, 37, 49.
2. Ответ: 76 лгунов.
Если бы все 200 зрителей были честными, то ответов «да» было бы 200 (по одному «да» от каждого зрителя). Следовательно, 228 лишних ответов «да» (428–200=228) дали лгуны. Каждый лгун отвечал «да» 4 раза, что на 3 больше, чем честный. Тогда лгунов было 228:3=76.
3.
 |
Индексы обозначают порядок закрашивания клеток. Если закрашивать клетки в указанном порядке, то цвет каждой следующей клетки определяется единственным способом. Это значит, что весь квадрат может быть закрашен только так. А вот порядок закрашивания может быть другой. |
4. Ответ: 640 треугольников.
Пусть на прямой а отметили 10 точек и на прямой в – 8 точек. Тогда, есть две возможности выбрать три вершины треугольника:
1) две вершины находятся на прямой а, одна вершина – на прямой в;
2) две вершины находятся на прямой в, одна вершина – на прямой а.
Три вершины на одной прямой выбирать нельзя.
В случае 1) получаем: 10×9:2×8=360, где 10×9:2 – количество способов выбрать пару вершин из 10, умножаем на 8, так как третьей вершиной может быть любая из 8 вершин на прямой в;
В случае 2) получаем: 8×7:2×10=280
Всего: 360 + 280 = 640 треугольников.