Ответы и указания к решению
Олимпиада "ЭВРИКА" 1996 год
6 класс
1. Ответ: -3; 1; 3
Рассмотрим, при каких х в первой скобке максимальным будет число 1 , а когда максимальным будет 2х-3. Решим вспомогательное уравнение:
2х - 3 = 1; х = 2.
При х > 2 максимумом будет 2х - 3, а при х < 2 - максимумом будет 1.
Аналогично, для раскрытия вторых скобок, решаем уравнение 2х + 3 = 1; х = -1. При х меньшем -1, минимальным будет число равное 2х + 3, при х большем -1, минимальным числом в этой скобке будет 1. Таким образом, раскрываем скобки и решаем уравнение на трех интервалах:
X ∈ (-∞; -1]; Х ∈ (-1;2] Х ∈ (2; +∞);
1+2х+3=х+1; 1+1=х+1 2х-3+1=х+1
х= - 3 х=1 х=3
2. Ответ: bc/a
Назовем площадь четвертого прямоугольника d, его длину х, а его ширину – y, тогда его площадь равна d=xy. Пусть длина прямоугольника а равна m, а ширина равна n, тогда
а=mn; b=xn; c=ym, => d=xnym/(mn)=bc/a
3. Ответ: 31; 52; 73; 94
Пусть а – количество десятков, b – количество единиц данного числа, тогда наше число = 10а+b; с другой стороны наше число = 7(а+b) +3. Решаем уравнение: 10а+b=7a+7b+3; 3a=6b+3; a=2b+1;
b = 0; a=1 – не годится
b=1; a=3 число=31;
b=2; a=5 число=52
b=3; a=7 число=73
b=4; a=9 число=94 .
4.
1 способ:
Пронумеруем все ступеньки лестницы. Тогда, Миша наступает на каждую вторую (четную) ступеньку, Антоша – на каждую третью, т.е. номер его ступеньки всегда делится на 3; Влад наступает на каждую пятую ступеньку, т.е. номер его ступеньки делится на 5. Они наступят все втроем на ступеньку, которая будет делится на 2, на 3 и на 5. Это ступенька 2х3х5=30, после чего все будет повторяться. Из каждых 30 ступенек ни один из мальчиков не наступит на 1-ю ступеньку, а также ступеньки с номерами, которые не делятся на 2, на 3 и на 5, т.е. с номерами, равными простым числам: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Как видим, все промежутки между этими номерами меньше 8. Значит, среди любых восьми ступенек найдется ступенька, на которую не наступал ни один из мальчиков.
2 способ:
Четные и нечетные ступеньки чередуются, значит, из каждых восьми ступенек – половина ступенек – четные. Миша наступит на 4 четные ступеньки. Среди каждых восьми ступенек 2 или 3 ступеньки будут делиться на 3. Даже, если их 3, четные и нечетные среди них тоже чередуются, значит, нечетных ступенек, кратных 3, будет не более 2-х. На четную ступеньку Миша уже наступил, тогда Антон наступит не более, чем на две новые ступеньки. Влад наступит среди любых восьми ступенек не более, чем на две ступеньки, делящиеся на 5. Одна из них будет четная, другая – нечетная. Четную мы уже посчитали среди 4-х Мишиных ступенек, значит, Влад оставит след не больше, чем на одной новой ступеньке. Итого, 4+2+1=7 не больше 7 ступенек, на которые могли наступить мальчики. 8-1=1. Среди любых 8 ступенек найдется хотя бы одна, на которую «не ступала нога человека».