Ответы и указания к решению
Олимпиада "ЭВРИКА" 2000 год
6 класс
1. Ответ: Такого числа нет.
В этом числе нет цифры 0, т.к. на 0 делить нельзя. В этом числе не может присутствовать цифра 5, т.к. тогда оно должно делиться на 5=> в конце числа может стоять только 5, но тогда число не будет делиться ни на одну четную цифру, а, значит не будет восьмизначным. Осталось 8 цифр, сумма которых = 40, а, значит, в каком бы порядке мы их не расставляли, полученное число не будет делиться на 3, на 6 и на 9.
2. Пронумеруем места, на которых стоят цифры в нашем десятизначном числе от 1 до 10. Тогда единицы будут стоять через одну – на местах одинаковой четности, двойки – на местах разной четности, тройки – на местах одной четности, четверки – на местах разной четности, пятерки – на местах с одинаковой четностью. Таким образом, как бы мы ни расставляли четверки и двойки они займут две четных и две нечетных позиции. Тогда для остальных цифр останется три четных и три нечетных позиции, но каждые две одинаковые оставшиеся цифры занимают сразу либо две четных, либо две нечетных позиции. Расставить их на три четных и три нечетных места не получится.
3. Ответ: Сможет добиться не всегда
Это зависит от остатка при делении на 5 исходного числа дуболомов. Если остаток при делении на 5 был равен 1, т.е. число дуболомов можно записать как 5n+1, то прибавляться будет количество дуболомов, равное количеству промежутков (промежутков на 1 меньше, чем дуболомов), т.е. 5n. При этом опять будет получаться число, делящееся на 5 с остатком 1 и так до бесконечности.
Если остаток =2, число дуболомов равно 5n+2, то затем оно станет 5n+2+5n+1=10n+3 => 10n+3+10n+2=20n+5 – кратно 5.
Если остаток равен 3, число дуболомов равно 5n+3 => 10n+5 – кратно 5.
Если остаток =4, 5n+4 => 10n+7 => 20n+13 =>40n+25 – кратно 5.
4. Пары: f+b=a+e=c+d.
Cумма всех шести чисел – нечетная (складываются три нечетных и три четных числа). Сумма в каждой паре – нечетная = четное + нечетное. Число с – самое большое четное, значит, оно может стоять только в паре с самым маленьким нечетным, а это не f, значит, f не стоит в паре с с и не стоит в паре с а, значит, f находится в паре с b. Но тогда из последнего равенства следует, что a не стоит в паре с d, значит, находится в паре с е. Остается с+d.