Ответы и указания к решению
Олимпиада "ЭВРИКА" 1998 год
7 класс
1. Ответ: Нет.
Пусть это возможно. Тогда 10a+30b+50c+70d=1000, где a, b, c, d – неотрицательные целые числа и a+b+c+d=25.
Следовательно, a+3b+5c+7d=100, что невозможно, так как слева стоит сумма 25 нечетных чисел и она нечетна.
2. Ответ: Образуем новый хоровод, взяв детей из первого хоровода через один. В этом хороводе 35 детей, значит, найдутся две девочки или два мальчика стоящие радом. В первоначальном хороводе они держали за руку одного ребенка.
3. Ответ: Да.
По принципу Дирихле, в каждой строке найдутся две клетки одного цвета. Перекрасим строки таблицы в эти цвета. Теперь есть две строки, покрашенные в один цвет. В каждом столбце есть две клетки, покрашенные в этот цвет. Перекрасим все столбцы в этот цвет. Вся таблица перекрашена в один цвет.
4. Ответ: При правильной игре выигрывает первый игрок.
Первый ход разломать шоколадку на части 2х9 и 3х9. Дальше первый игрок должен придерживаться «симметричной» стратегии, пока не появится часть вида 1хk. Например, после хода второго игрока ломающего часть 2х9 на части 2х4 и 2х5 ломать часть 3х9 на части 3х4 и 3х5. Как только появилась часть вида 1хk нужно отломить дольку 1х1 и выиграть.