Ответы и указания к решению
Олимпиада "ЭВРИКА" 2000 год
7 класс
1. Ответ: Сумма чисел первого множества больше на 2000.
Добавим в первое множество число 0. Сумма чисел множества при этом не изменится. Из десяти чисел 0, 1, 2, …, 9 пять чисел находятся в первом множестве, а пять – во втором, причем сумма первой пятерки на 5 меньше. Из следующих десяти чисел 10, 11, 12, …, 19 тоже по пять чисел находятся в первом и втором множествах, но сумма чисел в первом множестве на 5 больше. Значит, из 20 чисел 0, 1, 2, …, 19 суммы чисел попавших в первое и во второе множества равны. Аналогично, равны суммы чисел во множествах из 20 чисел 20, 21, 22, …, 39, и так далее до 20 чисел 1980, 1981, 1982, …, 1999. Но в первом множестве есть еще число 2000. Значит, сумма чисел первого множества больше на 2000.
2. Ответ: k может быть от 1 до 4.
k не может быть равно 0, так как в этом случае все квадраты должны быть белыми. Для k = 1. 2. 3. 4 можно построить примеры раскраски плоскости.
3. Ответ: В шеренге могло стоять 9, 24, 39, 54, 69, 84 или 99 солдат.
Делая перебор для количества солдат от 1 до 15, можно убедиться, что условию удовлетворяет количество солдат 9. При добавлении 15n солдат условие не нарушается. Значит, количество солдат должно быть равно 15n+9, где 0<=n<=6.
4. Две прямых.
Если квадрат разбивается прямой на две равных части, то и площади этих частей должны быть равны. Когда эта прямая должна проходить через центр квадрата. Одна прямая не может проходить через центры всех четырех квадратов. А две параллельные прямые можно провести через центры данных квадратов. Они будут разбивать квадраты на восемь равных частей.