5-й класс

Ответы и указания к решению

Олимпиада "ЭВРИКА" 1999 год
5 класс

1. Ответ: 1, 13, 25, 37, 49.

Условие а) означает, что все числа имеют одинаковые остатки от деления на 3. Условие б) означает, что все числа имеют одинаковые остатки от деления на 4. Тогда все числа имеют одинаковые остатки от деления на 12 и составляют арифметическую прогрессию с разностью 12. Условие в) означает, что первый член прогрессии должен быть минимальным, то есть единицей, что обеспечит минимальную сумму: 1, 13, 25, 37, 49.

2. Ответ: 76 лгунов.

Если бы все 200 зрителей были честными, то ответов «да» было бы 200 (по одному «да» от каждого зрителя). Следовательно, 228 лишних ответов «да» (428–200=228) дали лгуны. Каждый лгун отвечал «да» 4 раза, что на 3  больше, чем честный. Тогда лгунов было 228:3=76.

3. 

Индексы обозначают порядок закрашивания клеток.  Если закрашивать клетки в указанном порядке, то цвет каждой следующей клетки определяется единственным способом. Это значит, что весь квадрат может быть закрашен только так. А вот порядок закрашивания может быть другой.

4. Ответ: 640 треугольников.

Пусть на прямой  а отметили 10 точек и на прямой  в – 8 точек. Тогда, есть две возможности выбрать три вершины треугольника:

1) две вершины находятся на прямой  а, одна вершина – на прямой в;

2) две вершины находятся на прямой  в, одна вершина – на прямой а. 

Три вершины на одной прямой выбирать нельзя.

В случае 1) получаем: 10×9:2×8=360, где 10×9:2 – количество способов выбрать пару вершин из 10, умножаем на 8, так как третьей вершиной может быть любая из 8 вершин на прямой в;

В случае 2) получаем: 8×7:2×10=280

Всего: 360 + 280 = 640 треугольников.

Ответы и указания к решению

Олимпиада "ЭВРИКА" 1998 год
5 класс

1. Ответ: 46923

Выпишем все двузначные числа кратные 23: 23, 46, 69, 92. Тогда искомое число будет максимум пятизначным: 2×4–3=5, где 4 – количество кратных 23 двузначных чисел, 3 – количество «общих» цифр (последняя цифра предыдущего числа и первая цифра следующего числа). Тогда такое наибольшее число равно 46923. Все остальные числа, обладающие этим свойством, будут иметь менее 5 цифр в своей записи, то есть будут меньше найденного.

2. Ответ: 7 встреч.

До момента, когда они встретятся все трое,  пройдёт 60 минут (НОК(4,5,6)=60).  Первый и второй будут встречаться каждые 20 минут (НОК(4,5)=20) и за 60 минут встретятся 60:20=3 раза.

Первый и третий будут встречаться каждые 12 минут (НОК(4,6)=12) и за 60 минут встретятся 60:12=5 раз.

Второй и третий будут встречаться каждые 30 минут (НОК(5,6)=30) и за 60 минут встретятся 60:30=2 раз.

Заметим, что последняя встреча для каждой пары считаться не должна, так как она будет общей для всех трёх человек. Тогда всего было (3–1)+(5–1)+(2–1)=7 встреч.

3. Ответ: нельзя.

Числа с остатками ноль от деления на 5 должны стоять через одно число. Тогда их должно быть ровно 7, а их всего два: 5 и 10. Следовательно, так расставить числа от 1 до 14 нельзя.

4. Ответ: они получат число 524361; ровно 5 баллов получить нельзя.

Обозначим все клетки:

1) Юра ставит на поле  а карточку 5, так как если он не займёт его, то Оля поставит на него карточку 2 и число будет меньше.

2) Оля ставит на поле б карточку 2, так как если она не займёт его, то Юра поставит на него карточку 3 и число будет больше.

3) На обеих оставшихся у Юры карточках(1 и 3) числа меньше, чем на оставшихся карточках у Оли (4 и 6). Тогда Юре выгодно занимать младшие разряды числа, чтобы Оля ставила свои карточки в старшие разряды, и число было больше. Юра ставит 1 на поле е.

4) Оля должна поставить на поле д карточку 6 (свою самую большую из оставшихся карточку,  в самый маленький из оставшихся разряд).

5) Рассуждая, как в пункте 3, Юра ставит в разряд сотен 3, чтобы Оля была вынуждена поставить в разряд тысяч 4.

Ровно 5 баллов получить за решение этой задачи нельзя: если правильно стоит 5 цифр, то и шестая цифра обязательно займёт нужное место.

Ответы и указания к решению

Олимпиада "ЭВРИКА" 2001 год
7 класс

1. Ответ: 27.

Пусть двузначное число имеет a десятков и b единиц. Тогда по условию (10a+b)²=(a+b)³. Если (a+b)³ – точный квадрат, то a+b тоже точный квадрат. (10a+b)² >=100. 1<=(a+b)<=18. Если a+b=1 или a+b=4, то (a+b)³<100. Если a+b=9, то (10a+b)²=(a+b)³=9³=3⁶=(3³)² и 10a+b=3³=27. Если a+b=16, то (10a+b)²=(a+b)³=16³=2¹²=(2⁶)² и 10a+b=2⁶=64. Но 64²  не равно (6+4)³. Итак, 10a+b=27.

2. 56 способов.

Пусть x раз нажали на кнопку №1 и y раз на кнопку №2. Тогда 4x+13y=59. Так как x и y – неотрицательные целые числа, то x=5, y=3. Количество способов равно C₈³ = 56.

3.

Пусть 3x–2y–z–2, 4y–2x–2z+2, 3z–2y–x–3 – отрицательные числа.

Их сумма (3x–2y–z–2)+(4y–2x–2z+2)+(3z–2y–x–3) = –3.Так как x, y и z – целые,

То (3x–2y–z–2)=(4y–2x–2z+2)=(3z–2y–x–3) = –1. Но 4y–2x–2z+2 – четное число и не может быть равно –1. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно. Значит, одно из искомых чисел неотрицательно, что и требовалось доказать.

4.

Фишка должна стоять на второй или четвертой клетке. Первый игрок должен ходить в первую, третью или пятую клетку столбцов с нечетными номерами.

Ответы и указания к решению

Олимпиада "ЭВРИКА" 2000 год
7 класс

1. Ответ: Сумма чисел первого множества больше на 2000.

Добавим в первое множество число 0. Сумма чисел множества при этом не изменится. Из десяти чисел 0, 1, 2, …, 9 пять чисел находятся в первом множестве, а пять – во втором, причем сумма первой пятерки на 5 меньше. Из следующих десяти чисел 10, 11, 12, …, 19 тоже по пять чисел находятся в первом и втором множествах, но сумма чисел в первом множестве на 5 больше. Значит, из 20 чисел 0, 1, 2, …, 19 суммы чисел попавших в первое и во второе множества равны. Аналогично, равны суммы чисел во множествах из 20 чисел 20, 21, 22, …, 39, и так далее до 20 чисел 1980, 1981, 1982, …, 1999. Но в первом множестве есть еще число 2000. Значит, сумма чисел первого множества больше на 2000.

2. Ответ: k может быть от 1 до 4.

k не может быть равно 0, так как в этом случае все квадраты должны быть белыми. Для k = 1. 2. 3. 4 можно построить примеры раскраски плоскости.

3. Ответ:  В шеренге могло стоять 9, 24, 39, 54, 69, 84 или 99 солдат.

Делая перебор для  количества солдат от 1 до 15, можно убедиться, что условию удовлетворяет количество солдат 9. При добавлении 15n солдат условие не нарушается. Значит, количество солдат должно быть равно 15n+9, где 0<=n<=6.

4. Две прямых.

Если квадрат разбивается прямой на две равных части, то и площади этих частей должны быть равны. Когда эта прямая должна проходить через центр квадрата. Одна прямая не может проходить через центры всех четырех квадратов. А две параллельные прямые можно провести через центры данных квадратов. Они будут разбивать квадраты на восемь равных частей.