Ответы и указания к решению
Олимпиада "ЭВРИКА" 1997 год
5 класс
1. Ответ: да, всегда можно.
Решение: По условию звёздочек больше, чем столбцов. Тогда (по принципу Дирихле) найдётся столбец, в котором не менее двух звёздочек. Вычеркнем его. Осталось 3 столбца и не более четырёх звёздочек. Если осталось ровно 4 звёздочки, то найдётся столбец, в котором не менее двух звёздочек. Вычеркнем его. Осталось не более двух звёздочек. Они стоят не более чем в двух строках. Следовательно, их можно вычеркнуть, вычеркнув две строки.
Если после первого вычёркивания осталось меньше четырёх звёздочек, то хотя бы одну можно вычеркнуть, вычеркнув столбец. Тогда останется не более двух звёздочек. Они стоят не более чем в двух строках. Следовательно, их можно вычеркнуть, вычеркнув две строки.
2. Ответ: нельзя.
Решение:
Предположим, что параллелепипед собран из кирпичей 5×10×2. Тогда его ширина (27) должна быть набрана только числами 5 и 10, что невозможно, так как 27 не кратно 5. А если в сумме 27 есть слагаемое 2, то кирпич пришлось ставить вертикально (на грань 5×2). Тогда его высота оказалась равной 10, что больше высоты параллелепипеда. Получено противоречие. Следовательно, предположение было ошибочным.
3. Ответ: 52 способа.
Решение: Всего в стране 8 дорог. Количество способов выбрать из 8 дорог 3 равно:
8 × 7 × 6 : 3! = 56. Но тройку дорог, выходящих из одной вершины А, одновременно закрывать нельзя, так как вершина становится изолированной, а граф – несвязным. Это верно и для вершин В, С и D. Любая другая тройка дорог может быть закрыта на ремонт. Тогда всего способов 56 – 4 = 52.
4. Ответ: 550 г.
Решение: Карлсон берёт 150 г. Если Малыш берёт 400 г, то все остальные куски достаются Карлсону. Действительно, пока Малыш ест 400 г, Карлсон успевает съесть 800 г (100+150+350<800). Аналогично, если Малыш берёт кусок 350 г, то все остальные куски достаются Карлсону. Пока Малыш ест 350 г, Карлсон успевает съесть 700 г (100+150+350<700). Значит, Малышу выгодно взять кусок в 100 г, чтобы успеть взять ещё один кусок. Понимая это, Карлсон доедает кусок в 150 г (раньше, чем малыш 100 г) и берёт кусок в 400 г. Всего ему достанется 550 г.
Покажем, что больше съесть он не может.
Если Карлсон возьмёт 400 г, то Малыш – 150 г. Малыш съест свой кусок раньше Карлосона и возьмёт 350 г. Карлсону достанется 400 + 100 = 500 г < 550 г.
Если Карлсон возьмёт 350 г, то Малыш – 150 г. Малыш съест свой кусок раньше Карлосона и возьмёт 400 г. Карлсону достанется 350 +100 = 450 г < 550 г.
Если Карлсон возьмёт 100 г, то Малыш – 150 г. Карлсон съест свой кусок раньше, чем Малыш и возьмёт 400 г, так как последний кусок всё равно достанется Малышу. Всего Карлсон съест 100 + 400 = 500 г < 550 г
