Ответы и указания к решению
Олимпиада "ЭВРИКА" 1996 год
7 класс
1. Ответ: 63.
Пусть это число – n. Всего чисел: 1 единица, 2 двойки, 3 тройки,…, не более n чисел n.
Тогда 1 + 2 + 3 +...+n = n(n+1)/2 >=1996. n(n+1)>=3992.
62×63=3906, 63×64=4032. n=63.
2. Ответ: Да.
Возможный пример:
Пусть на прямоугольной декартовой системе координат точки A(–1; 0), B(100; 1), C(101; 0), D(100; –1) – вершины четырехугольника ABCD. Точки O(0; 0) и P(100; 0) (точка пересечения диагоналей) лежат внутри четырехугольника.
Тогда AO=1, CO=101, BO=DO>OP=100, И AO+BO+CO+DO>302.
AB=AD<AP+PD=102, BC=CD<CP+PD=2, AB+BC+CD+AD<208.
AO+BO+CO+DO> AB+BC+CD+AD.
3. Если 8 ладей на шахматной доске не бьют друг друга, то на каждой горизонтали и каждой вертикали стоит ровно по одной ладье. Пусть в левом верхнем квадрате стоит n ладей. Тогда в правом верхнем квадрате стоит 4 – n ладей. Значит, в правом нижнем квадрате тоже стоит n ладей, что и требовалось доказать.
4. Ответ: 45.
Не более 1 работы с 8 нулями, не более 2 работ с 7 нулями, не более 3 работ с 6 нулями, …, не более 9 работ без нулей.
1+2+3+…+9=45.
