Ответы и указания к решению

Олимпиада "ЭВРИКА" 1999 год
6 класс

1.  Ответ: 89731

Простое двузначное число не может заканчиваться на четную цифру, иначе оно делится на 2, не может заканчиваться на 5, иначе оно делится на 5. Таким образом, оно может заканчиваться только на цифры 1, 3, 7, 9. Это значит, что максимальное количество знаков в искомом числе будет 5. На первое место мы не можем поставить 9, иначе наше число будет иметь только 4 знака. Ставим 8, остальные цифры, расставленные в порядке убывания, дают нужное число.

2. Не более чем за 7 диагональных ходов Ослик может дойти из любой черной в любую другую черную клетку или из любой белой в любую белую клетку. Если Ослику требуется поменять цвет клетки, то это он делает за один вертикальный или горизонтальный ход.

3. Ответ: а) Наименьшее количество – три клетки. Докажем, что закрасить две клетки так, чтобы в каждом квадрате 3х3 было по две закрашенных, не получится. У нас имеется единственная клетка, которая принадлежит всем девяти квадратам 3х3. Какую бы вторую клетку мы не закрасили, она не будет принадлежать всем квадратам 3х3, а лишь некоторым, а в остальных так и останется только одна закрашенная клетка.

Ответ: б) Наибольшее количество – 8 закрашенных клеток. Докажем, что больше 8 клеток закрасить не удастся. Дорисуем к нашему квадрату столбик и строчку, получим квадрат 6х6, даже в этом квадрате закрасить больше 8 клеток не получится, т.к. в нем имеется 4 неперекрывающихся квадрата 3х3, и в каждом из них может быть закрашено не более двух клеток, значит, всего может быть закрашено не более 4х2=8 клеток.

4. Ответ: 8 дорог

Сейчас количество способов попасть из Нуля в Девять равно 1х2х3х4х5х6х7х8х9. Чтобы это произведение равнялось степени двойки, все множители должны равняться степеням двойки. Не являются степенями двойки: 3, 5, 6, 7 и 9. Закрываем,  соответственно, 1+1+2+3+1 дороги, получаем количество способов равное 1х2х2х4х4х4х8х8 = 2¹⁴ .

Ответы и указания к решению

Олимпиада "ЭВРИКА" 1998 год
6 класс

1. Предположим, что ни одного человека, который держит за руки двух мальчиков или двух девочек нет, тогда каждый человек держит за руку мальчика и девочку. Рассмотрим любого мальчика, рядом с ним с одной стороны будет мальчик, а с другой девочка. Рядом с его соседом-мальчиком, третий мальчик подряд сидеть не может, значит, дальше по кругу сидит девочка, сосед-мальчик у нее уже есть, значит, следующая – девочка. Все должны разбиться на четверки ММДД, а 30 не делится на 4.

2. Ответ: Невозможно

Чтобы сумма двух чисел делилась на 3, либо оба эти числа должны делиться на 3, либо сумма их остатков должна равняться 3. Стоящие через одно числа или должны все делиться на 3, или должно быть чередование остатков 1 и 2. Чисел, стоящих через одно, в этом круге 6, а чисел, делящихся на 3 от 1 до 16, будет 5;   =>  расставить таким образом кратные 3 числа невозможно, тогда оставшихся чисел будет 11, круг из 12 чисел не получится.

3. Ответ: Невозможно

Сделаем полосатую вертикальную черно-белую раскраску. В квадрате 4х4 черных и белых клеток будет поровну. Тогда все горизонтальные доминошки будут занимать одну черную и одну белую клетку, а вертикальные – две белых или две черных клетки. Вертикальных доминошек – 3;  => они займут неодинаковое количество черных и белых клеток.

4. Ответ: 10 перекрашиваний

По принципу Дирихле среди восьми клеток, покрашенных в 7 цветов, обязательно найдутся две одного цвета, значит, мы сможем перекрасить каждую строчку в один из 7 цветов. Мысленно проделаем это и запомним результат. Тогда найдутся две строчки одного цвета. Перекрашиваем эти две строчки (два перекрашивания). Теперь в каждом столбике будет по две клетки из перекрашенных строчек, значит, мы сможем каждый столбик выкрасить в цвет первых двух перекрашенных строчек (8 перекрашиваний).

Ответы и указания к решению

Олимпиада "ЭВРИКА" 1997 год
6 класс

1. Ответ: 20

Докажем, что любое число больше 20 можно  представить в виде 4n+5m.

21=4х4+5х1          +4=25

22=4х3+5х2          +4=26

23=4х2+5х3          +4=27

24=4х1+5х4          +4=28   и т.д.

Все остальные числа можно получить, добавляя 4k к одному из этих четырех чисел, таким образом, они представимы в виде 4n+5m

2. Если произведение чисел в каждой строке отрицательно, то в каждой строке содержится нечетное количество отрицательных чисел, значит, всего в таблице содержится нечетное количество отрицательных чисел (сумма 7 нечетных слагаемых). Значит, если мы перемножим все числа таблицы, то получим отрицательный результат, такой же результат мы получим, если перемножим все числа сначала по столбикам, а затем найдем произведение столбиков, т.к. от перемены мест множителей произведение не меняется. Значит, среди столбиков найдется хотя бы один с отрицательным результатом.

3. Ответ: a1+a2+a3+a4+a5

У каждого человека разделим все двойки на первую, вторую, третью, четвертую и пятую. Сначала сложим все первые двойки – их будет а1. Затем сложим все вторые двойки  - их будет а2 и т.д.

4. Второй выигрывает.

В случае, если первый игрок заполняет строку с четным количеством звездочек, второй сначала ставит такое же число по другую сторону знака равенства, а затем (в случае с 4-мя звездочками) ставит число противоположное тому, что поставил первый игрок. В случае, если первый игрок начинает заполнять  строку с нечетным количеством звездочек, то надо в ответ начинать заполнять вторую нечетную строку, т.е. свести задачу к случаю с четным количеством звездочек.

Ответы и указания к решению

Олимпиада "ЭВРИКА" 1996 год
6 класс

1. Ответ: -3; 1; 3

Рассмотрим, при каких х в первой скобке максимальным будет число 1 , а когда максимальным будет  2х-3. Решим вспомогательное уравнение:

2х - 3 = 1;  х = 2.

При х > 2 максимумом будет 2х - 3, а при х < 2  - максимумом будет 1.

 Аналогично, для раскрытия вторых скобок, решаем уравнение 2х + 3 = 1; х = -1. При х меньшем -1, минимальным будет число равное 2х + 3, при х большем -1, минимальным числом в этой скобке будет 1. Таким образом, раскрываем скобки и решаем уравнение на трех интервалах:

X ∈ (-∞; -1];                     Х ∈ (-1;2]                     Х ∈ (2; +∞);               

1+2х+3=х+1;                    1+1=х+1                       2х-3+1=х+1

 х= - 3                                х=1                              х=3

2. Ответ: bc/a

Назовем площадь четвертого прямоугольника d, его длину х, а его ширину – y, тогда его площадь равна d=xy. Пусть длина прямоугольника а равна m, а ширина равна n, тогда

а=mn;  b=xn;  c=ym,  => d=xnym/(mn)=bc/a

3. Ответ: 31; 52; 73; 94

Пусть а – количество десятков, b – количество единиц данного числа, тогда наше число = 10а+b; с другой стороны наше число = 7(а+b) +3. Решаем уравнение: 10а+b=7a+7b+3; 3a=6b+3; a=2b+1;

b = 0; a=1 – не годится

b=1; a=3  число=31;

b=2; a=5  число=52

b=3; a=7  число=73

b=4; a=9  число=94 .

4.

1 способ:

Пронумеруем все ступеньки лестницы. Тогда, Миша наступает на каждую вторую (четную) ступеньку, Антоша – на каждую третью, т.е. номер его ступеньки всегда делится на 3; Влад наступает на каждую пятую ступеньку, т.е. номер его ступеньки делится на 5. Они наступят все втроем на ступеньку, которая будет делится на 2, на 3 и на 5. Это ступенька 2х3х5=30, после чего все будет повторяться. Из каждых 30 ступенек ни один из мальчиков не наступит на 1-ю ступеньку, а также ступеньки с номерами, которые не делятся на 2, на 3 и на 5, т.е. с номерами, равными простым числам: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Как видим, все промежутки между этими номерами меньше 8. Значит, среди любых восьми ступенек найдется ступенька, на которую не наступал ни один из мальчиков.

2 способ:

Четные и нечетные ступеньки чередуются, значит, из каждых восьми ступенек – половина ступенек – четные. Миша наступит на 4 четные ступеньки. Среди каждых восьми ступенек 2 или 3 ступеньки будут делиться на 3. Даже, если их 3, четные и нечетные среди них тоже чередуются, значит, нечетных ступенек, кратных 3, будет не более 2-х. На четную ступеньку Миша уже наступил, тогда Антон наступит не более, чем на две новые ступеньки. Влад наступит среди любых восьми ступенек не более, чем на две ступеньки, делящиеся на 5. Одна из них будет четная, другая – нечетная. Четную мы уже посчитали среди 4-х Мишиных ступенек, значит, Влад оставит след не больше, чем на одной новой ступеньке. Итого, 4+2+1=7  не больше 7 ступенек, на которые могли наступить мальчики. 8-1=1. Среди любых 8 ступенек найдется хотя бы одна, на которую «не ступала нога человека».