Ответы и указания к решению
Олимпиада "ЭВРИКА" 1997 год
6 класс
1. Ответ: 20
Докажем, что любое число больше 20 можно представить в виде 4n+5m.
21=4х4+5х1 +4=25
22=4х3+5х2 +4=26
23=4х2+5х3 +4=27
24=4х1+5х4 +4=28 и т.д.
Все остальные числа можно получить, добавляя 4k к одному из этих четырех чисел, таким образом, они представимы в виде 4n+5m
2. Если произведение чисел в каждой строке отрицательно, то в каждой строке содержится нечетное количество отрицательных чисел, значит, всего в таблице содержится нечетное количество отрицательных чисел (сумма 7 нечетных слагаемых). Значит, если мы перемножим все числа таблицы, то получим отрицательный результат, такой же результат мы получим, если перемножим все числа сначала по столбикам, а затем найдем произведение столбиков, т.к. от перемены мест множителей произведение не меняется. Значит, среди столбиков найдется хотя бы один с отрицательным результатом.
3. Ответ: a1+a2+a3+a4+a5
У каждого человека разделим все двойки на первую, вторую, третью, четвертую и пятую. Сначала сложим все первые двойки – их будет а1. Затем сложим все вторые двойки - их будет а2 и т.д.
4. Второй выигрывает.
В случае, если первый игрок заполняет строку с четным количеством звездочек, второй сначала ставит такое же число по другую сторону знака равенства, а затем (в случае с 4-мя звездочками) ставит число противоположное тому, что поставил первый игрок. В случае, если первый игрок начинает заполнять строку с нечетным количеством звездочек, то надо в ответ начинать заполнять вторую нечетную строку, т.е. свести задачу к случаю с четным количеством звездочек.
