Ответы и указания к решению
Олимпиада "ЭВРИКА" 1998 год
6 класс
1. Предположим, что ни одного человека, который держит за руки двух мальчиков или двух девочек нет, тогда каждый человек держит за руку мальчика и девочку. Рассмотрим любого мальчика, рядом с ним с одной стороны будет мальчик, а с другой девочка. Рядом с его соседом-мальчиком, третий мальчик подряд сидеть не может, значит, дальше по кругу сидит девочка, сосед-мальчик у нее уже есть, значит, следующая – девочка. Все должны разбиться на четверки ММДД, а 30 не делится на 4.
2. Ответ: Невозможно
Чтобы сумма двух чисел делилась на 3, либо оба эти числа должны делиться на 3, либо сумма их остатков должна равняться 3. Стоящие через одно числа или должны все делиться на 3, или должно быть чередование остатков 1 и 2. Чисел, стоящих через одно, в этом круге 6, а чисел, делящихся на 3 от 1 до 16, будет 5; => расставить таким образом кратные 3 числа невозможно, тогда оставшихся чисел будет 11, круг из 12 чисел не получится.
3. Ответ: Невозможно
Сделаем полосатую вертикальную черно-белую раскраску. В квадрате 4х4 черных и белых клеток будет поровну. Тогда все горизонтальные доминошки будут занимать одну черную и одну белую клетку, а вертикальные – две белых или две черных клетки. Вертикальных доминошек – 3; => они займут неодинаковое количество черных и белых клеток.
4. Ответ: 10 перекрашиваний
По принципу Дирихле среди восьми клеток, покрашенных в 7 цветов, обязательно найдутся две одного цвета, значит, мы сможем перекрасить каждую строчку в один из 7 цветов. Мысленно проделаем это и запомним результат. Тогда найдутся две строчки одного цвета. Перекрашиваем эти две строчки (два перекрашивания). Теперь в каждом столбике будет по две клетки из перекрашенных строчек, значит, мы сможем каждый столбик выкрасить в цвет первых двух перекрашенных строчек (8 перекрашиваний).
