Ответы и указания к решению
Олимпиада "ЭВРИКА" 1999 год
6 класс
1. Ответ: 89731
Простое двузначное число не может заканчиваться на четную цифру, иначе оно делится на 2, не может заканчиваться на 5, иначе оно делится на 5. Таким образом, оно может заканчиваться только на цифры 1, 3, 7, 9. Это значит, что максимальное количество знаков в искомом числе будет 5. На первое место мы не можем поставить 9, иначе наше число будет иметь только 4 знака. Ставим 8, остальные цифры, расставленные в порядке убывания, дают нужное число.
2. Не более чем за 7 диагональных ходов Ослик может дойти из любой черной в любую другую черную клетку или из любой белой в любую белую клетку. Если Ослику требуется поменять цвет клетки, то это он делает за один вертикальный или горизонтальный ход.
| 3. Ответ: а) Наименьшее количество – три клетки. Докажем, что закрасить две клетки так, чтобы в каждом квадрате 3х3 было по две закрашенных, не получится. У нас имеется единственная клетка, которая принадлежит всем девяти квадратам 3х3. Какую бы вторую клетку мы не закрасили, она не будет принадлежать всем квадратам 3х3, а лишь некоторым, а в остальных так и останется только одна закрашенная клетка. |  |
| Ответ: б) Наибольшее количество – 8 закрашенных клеток. Докажем, что больше 8 клеток закрасить не удастся. Дорисуем к нашему квадрату столбик и строчку, получим квадрат 6х6, даже в этом квадрате закрасить больше 8 клеток не получится, т.к. в нем имеется 4 неперекрывающихся квадрата 3х3, и в каждом из них может быть закрашено не более двух клеток, значит, всего может быть закрашено не более 4х2=8 клеток. |  |
4. Ответ: 8 дорог
Сейчас количество способов попасть из Нуля в Девять равно 1х2х3х4х5х6х7х8х9. Чтобы это произведение равнялось степени двойки, все множители должны равняться степеням двойки. Не являются степенями двойки: 3, 5, 6, 7 и 9. Закрываем, соответственно, 1+1+2+3+1 дороги, получаем количество способов равное 1х2х2х4х4х4х8х8 = 214 .
